Les représentants les plus simples des fonctions de Legendre associées sont les polynômes de Legendre, qui sont des fonctions d’ordre zéro : p n ( μ ) = p n 0 ( μ ) .
Comment trouver un polynôme de Legendre ?
d2y. dx2.
− 2x. mourir.
n > 0, |x| < 1. ou équivalent.
(1 − x2) dj.
n > 0, |x| < 1. Les solutions de cette équation sont appelées fonctions de Legendre d'ordre n.
|x| < 1.
Si n = 0, 1, 2, 3,... les fonctions Pn(x) sont appelées polynômes de Legendre ou d'ordre n et sont données par la formule de Rodrigue.
Pn(x) = Quelle est la formule de Rodrigues pour le polynôme de Legendre ? Rappelons la formule de Rodrigues pour les polynômes de Legendre (13.78) : (14.72) d ℓ dx ℓ ( x 2 - 1 ) ℓ . Qu'est-ce que l'équation différentielle de Legendre ? L'équation différentielle de Legendre étant une équation différentielle ordinaire du second ordre, elle a deux solutions linéairement indépendantes. Une solution régulière en points finis est appelée fonction de Legendre de première espèce, tandis qu'une solution singulière en est appelée fonction de Legendre de seconde espèce. Quel est le polynôme de degré de Legendre ? Ce sont des solutions d'une équation différentielle très importante, l'équation de Legendre : Les polynômes peuvent être notés Pn(x) , appelé polynôme de Legendre d'ordre n. Les polynômes sont des fonctions paires ou impaires de x pour des ordres pairs ou impairs n. Les premiers polynômes sont présentés ci-dessous. Qu'entendez-vous par polynôme de Legendre ? En sciences physiques et en mathématiques, les polynômes de Legendre (du nom d'Adrien-Marie Legendre, qui les découvrit en 1782) sont un système de polynômes complets et orthogonaux, avec un grand nombre de propriétés mathématiques, et de nombreuses applications. Les polynômes de Legendre sont-ils normalisés ? Fonctions de Legendre Pn(x) La solution générale de cette équation différentielle, en faisant abstraction des solutions avec n négatif, est donnée par : Dans cette expression, la constante Kn est arbitraire. Habituellement, le polynôme de Legendre est normalisé en imposant que Pn (1) = 1. Comment résoudre une équation de Legendre ? Lorsque α ∈ Z+, l'équation admet des solutions polynomiales appelées polynômes de Legendre. En fait, il s'agit du même polynôme que celui rencontré précédemment dans le cadre du processus de Gram-Schmidt. [(x2 − 1)y ] = α(α + 1)y, qui a la forme T(y) = λy, où T(f )=(pf ) , avec p(x) = x2 − 1 et λ = a(a + 1). Qu'est-ce que l'équation différentielle hermite? où est une constante est connue sous le nom d'équation différentielle d'Hermite. Quand est un. entier impair, c'est-à-dire quand = 2 + 1 ; = 0,1,2 … …. alors une des solutions de. l'équation (1) devient un polynôme. Qu'est-ce qu'une équation linéaire dans une équation différentielle ? Linéaire signifie simplement que la variable dans une équation n'apparaît qu'avec une puissance de un. Dans une équation différentielle, lorsque les variables et leurs dérivées ne sont multipliées que par des constantes, alors l'équation est linéaire. Les variables et leurs dérivées doivent toujours apparaître comme une puissance première simple. Qu'est-ce que la fonction génératrice du polynôme de Legendre ? Les polynômes de Legendre peuvent être alternativement donnés par la fonction génératrice ( 1 − 2 x z + z 2 ) − 1 / 2 = ∑ n = 0 ∞ P n ( x ) z n , mais il existe d'autres fonctions génératrices. Comment utilisez-vous la formule de rotation de Rodrigues ? nous donne la matrice de rotation. Cette formule est connue sous le nom de Formule de Rodrigues. Considérons R=eAb puis par une algèbre basée sur A =- At nous avons, R-Rt = 2Acos( b ) En utilisant ceci et en résolvant pour un axe unitaire, et un angle nous pouvons récupérer l'axe (jusqu'à un facteur de +/ -1) et angle jusqu'à un facteur de +/- 2pi. Les polynômes de Legendre sont-ils linéairement indépendants ? Tout polynôme de degré m peut être représenté comme une combinaison linéaire de polynômes de Legendre de degré au plus m. montrer que les polynômes de legendre de degré ≤ n, sont linéairement indépendants, et forment ainsi une base pour tous les polynômes de degré ≤ n. Quelle est la propriété orthogonale du polynôme de Legendre ? Résumé Nous donnons une remarquable propriété supplémentaire d'othogonalité des polynômes de Legendre classiques sur l'intervalle réel [−1, 1] : les polynômes jusqu'au degré n de cette famille sont orthogonaux entre eux sous la mesure arc sinus pondérée par la fonction de Christoffel normalisée de degré n . Qu'est-ce qu'un ermite ? Hermite. Hermite est un cratère d'impact lunaire situé le long du limbe lunaire nord, près du pôle nord de la Lune. Comment écrire un polynôme d'Hermite ? Polynômes d'HermiteH n ( x ) = n ! ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( - 1 ) k ( 2 X ) n - 2 k k ! ( n - 2 k ) ! Les polynômes d'hermite sont pertinents pour l'analyse de l'oscillateur harmonique quantique, et les opérateurs d'abaissement et d'élévation correspondent à la création et à l'annihilation. Qu'est-ce que l'équation d'onde de Helmholtz ? L'équation de Helmholtz, nommée d'après Hermann von Helmholtz, est l'équation différentielle partielle linéaire. Où est le Laplacien, est l'amplitude et est le nombre d'onde. L'équation différentielle de Helmholtz peut être résolue en séparant les variables dans seulement 11 systèmes de coordonnées. Pourquoi utilise-t-on les équations de Legendre ? Par exemple, les polynômes de Legendre et de Legendre associé sont largement utilisés dans la détermination des fonctions d'onde des électrons dans les orbites d'un atome [3], [4] et dans la détermination des fonctions potentielles dans la géométrie à symétrie sphérique [5], etc. Pourquoi les polynômes orthogonaux sont-ils importants ? Tout comme les séries de Fourier fournissent une méthode pratique pour développer une fonction périodique dans une série de termes linéairement indépendants, les polynômes orthogonaux fournissent un moyen naturel de résoudre, développer et interpréter les solutions de nombreux types d'équations différentielles importantes. Le polynôme de Jacobi est-il orthogonal dans l'intervalle 1 1 ) ?
Si oui, prouvez-le et écrivez la fonction de poids ? (x) sont une classe de polynômes orthogonaux classiques. Ils sont orthogonaux par rapport au poids (1 − x)α(1 + x)β sur l'intervalle [−1, 1]. Pourquoi utilisons-nous les solutions Series ? En mathématiques, la méthode des séries de puissance est utilisée pour rechercher une solution de série de puissance à certaines équations différentielles. En général, une telle solution suppose une série de puissances avec des coefficients inconnus, puis substitue cette solution dans l'équation différentielle pour trouver une relation de récurrence pour les coefficients. L'équation différentielle de Legendre est-elle linéaire ? Il s'agit d'une équation linéaire du second ordre avec trois points singuliers réguliers (en 1, −1 et ∞). Comme toutes ces équations, elle peut être convertie en une équation différentielle hypergéométrique par un changement de variable, et ses solutions peuvent être exprimées à l'aide de fonctions hypergéométriques.