Le premier théorème que Pugh prouve une fois qu’il a défini l’intégrale de Riemann est que l’intégrabilité implique la délimitation. C’est le théorème 15 à la page 155 de mon édition. Cela montre qu’il faut d’abord s’entendre sur les définitions.
Riemann intégrable implique-t-il borné ?
Théorème 4. Toute fonction intégrable de Riemann est bornée.
Les fonctions non bornées sont-elles intégrables ?
Une fonction non bornée n’est pas intégrable de Riemann. Dans ce qui suit, “intégrable” signifiera “intégrable de Riemann” et “intégrale” signifiera “intégrale de Riemann” sauf indication contraire explicite. f(x) = { 1/x si 0 < x ≤ 1, 0 si x = 0. donc les sommes de Riemann supérieures de f ne sont pas bien définies. Une fonction intégrable de Lebesgue est-elle bornée ? Les fonctions mesurables bornées sont équivalentes aux fonctions intégrables de Lebesgue. Si f est une fonction bornée définie sur un ensemble mesurable E de mesure finie. Alors f est mesurable si et seulement si f est intégrable de Lebesgue. En revanche, les fonctions mesurables sont "presque" continues. Comment savoir si une fonction est Lebesgue intégrable ? Si f, g sont des fonctions telles que f = g presque partout, alors f est intégrable de Lebesgue si et seulement si g est intégrable de Lebesgue, et les intégrales de f et g sont les mêmes si elles existent. Quelles fonctions de Lebesgue ne sont pas intégrables ? La fonction 1/x sur R (définie arbitrairement en 0) est mesurable mais elle n'est pas intégrable de Lebesgue. En général, une fonction est intégrable de Lebesgue si et seulement si la partie positive et la partie négative de la fonction ont une intégrale de Lebesgue finie, ce qui n'est pas vrai pour 1/x. Quels types de fonctions ne sont pas intégrables ? Les exemples les plus simples de fonctions non intégrables sont : dans l'intervalle [0, b] ; et dans tout intervalle contenant 0. Ceux-ci ne sont intrinsèquement pas intégrables, car la zone que leur intégrale représenterait est infinie. Il y en a d'autres aussi, pour lesquels l'intégrabilité échoue parce que l'intégrand saute trop. Comment savoir si une fonction est non intégrable ? Si une fonction est continue sur un intervalle donné, elle est intégrable sur cet intervalle. De plus, si une fonction n'a qu'un nombre fini de discontinuités sur un intervalle donné, elle est également intégrable sur cet intervalle. Soit la fonction y=|x| , maintenant il contient un point pointu en x= 0, donc la fonction est non différentiable en x=0. Comment prouvez-vous intégrable? Toutes les propriétés de l'intégrale qui sont familières du calcul peuvent être prouvées. Par exemple, si une fonction f:[a,b]→R est intégrable de Riemann sur l'intervalle [a,c] et aussi sur l'intervalle [c,b], alors elle est intégrable sur tout l'intervalle [a,b] et on a ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx. Est-ce que toute fonction intégrable est bornée ? Toutes les fonctions bornées ne sont pas intégrables. Par exemple la fonction f(x)=1 si x est rationnel et 0 sinon n'est intégrable sur aucun intervalle [a, b] (Cochez ceci). Toute fonction continue est-elle intégrable ? Les fonctions continues sont intégrables, mais la continuité n'est pas une condition nécessaire à l'intégrabilité. Comme l'illustre le théorème suivant, les fonctions avec des discontinuités de saut peuvent également être intégrables. Qu'est-ce que cela signifie pour une fonction d'être intégrable sur un intervalle fermé ? Concrètement, l'intégrabilité repose sur la continuité : si une fonction est continue sur un intervalle donné, elle est intégrable sur cet intervalle. Par exemple, la fonction y = |x| contient un point pointu en x = 0, donc la fonction est indérivable en ce point. Cependant, la même fonction est intégrable pour toutes les valeurs de x. Que représente c dans une primitive ? La notation utilisée pour représenter toutes les primitives d'une fonction f( x) est le symbole intégral indéfini écrit , où . La fonction de f(x) est appelée l'intégrande et C est appelée la constante d'intégration. Pourquoi les deux théorèmes fondamentaux du calcul sont-ils si importants ? Il y a une raison pour laquelle on l'appelle le théorème fondamental du calcul. Non seulement elle établit une relation entre intégration et différenciation, mais elle garantit également que toute fonction intégrable possède une primitive. Plus précisément, il garantit que toute fonction continue a une primitive. Une fonction est-elle intégrable ? En mathématiques, une fonction absolument intégrable est une fonction dont la valeur absolue est intégrable, ce qui signifie que l'intégrale de la valeur absolue sur tout le domaine est finie. , de sorte qu'en fait "absolument intégrable" signifie la même chose que "intégrable de Lebesgue" pour les fonctions mesurables. Que signifie non intégrable ? Une fonction non intégrable est une fonction où l'intégrale définie ne peut pas être affectée d'une valeur. Par exemple la fonction Dirichlet n'est pas intégrable. Vous ne pouvez tout simplement pas attribuer un nombre à cette intégrale. Quand ne pouvez-vous pas intégrer une fonction ? Ou voulez-vous dire que l'intégrale définie n'existe pas? Certaines fonctions, telles que sin(x2) , ont des primitives qui n'ont pas de formules simples impliquant un nombre fini de fonctions auxquelles vous êtes habitué du précalcul (elles ont des primitives, mais pas de formules simples pour elles). Quelle est la signification de l'intégrabilité ? : pouvant être intégré des fonctions intégrables. La fonction de Dirichlet est-elle intégrable ? La fonction de Dirichlet est Lebesgue-intégrable sur R et son intégrale sur R est nulle car elle est nulle sauf sur l'ensemble des nombres rationnels qui est négligeable (pour la mesure de Lebesgue). Toutes les dérivées sont-elles intégrables ? La dérivée V ' est bornée partout. La dérivée n'est pas intégrable de Riemann. Toute fonction de Lebesgue est-elle intégrable ? Toute fonction continue f ∈ C[a, b] est intégrable de Riemann. f(x)dx = je(f) = je(f). f(x)dx. En calcul élémentaire, diverses intégrales de Riemann « impropres » sont introduites afin de relâcher les deux exigences (domaine compact, borné). Quelles fonctions de Lebesgue sont intégrables ? Maintenant la Proposition 9 peut être paraphrasée comme 'Une fonction f : R −→ C est Lebesgue intégrable si et seulement si c'est la somme ponctuelle a.e. d'une série absolument sommable dans Cc(R). ' Sommable ici, souvenez-vous signifie intégrable. Toutes les fonctions continues de Lebesgue sont-elles intégrables ? Chaque fonction continue est intégrable de Riemann, et chaque fonction intégrable de Riemann est intégrable de Lebesgue, donc la réponse est non, il n'y a pas de tels exemples. Que vous dit une primitive ? Une primitive est une fonction qui inverse ce que fait la dérivée. Une fonction a de nombreuses primitives, mais elles prennent toutes la forme d'une fonction plus une constante arbitraire. Les primitives sont un élément clé des intégrales indéfinies. Qu'est-ce que C dans les intégrales ? La notation utilisée pour représenter toutes les primitives d'une fonction f( x) est le symbole intégral indéfini écrit , où . La fonction de f(x) est appelée l'intégrande et C est appelée la constante d'intégration.