En mathématiques, un sous-ensemble d’un espace topologique est appelé nulle part dense ou rare si sa fermeture a un intérieur vide. Dans un sens très large, c’est un ensemble dont les éléments ne sont étroitement regroupés nulle part. Par exemple, les entiers ne sont nulle part denses parmi les réels, alors qu’une boule ouverte ne l’est pas.
1 N n’est-il nulle part dense ?
Un exemple d’un ensemble qui n’est pas fermé mais qui n’est encore dense nulle part est {1n|n∈N}. Il a un point limite qui n’est pas dans l’ensemble (à savoir 0), mais sa fermeture n’est encore nulle part dense car aucun intervalle ouvert ne rentre dans {1n|n∈N}∪{0}.
Comment prouver qu’un ensemble n’est nulle part dense ?
Un sous-ensemble A ⊆ X est dit nulle part dense dans X si l’intérieur de la clôture de A est vide, c’est-à-dire (A)◦ = ∅. Autrement dit, A n’est dense nulle part ssi il est contenu dans un ensemble fermé à intérieur vide. Passant aux compléments, on peut dire de manière équivalente que A n’est dense nulle part ssi son complémentaire contient un ouvert dense (pourquoi ?
).
Que signifie partout dense ?
Un sous-ensemble A d’un espace topologique X est dense dont la clôture est l’espace entier X (certains auteurs utilisent la terminologie partout dense). Une définition alternative commune est : un ensemble A qui intersecte chaque sous-ensemble ouvert non vide de X.
Chaque ensemble dense est-il ouvert ?
Un espace topologique X est hyperconnecté si et seulement si tout ensemble ouvert non vide est dense dans X. Un espace topologique est sous-maximal si et seulement si tout sous-ensemble dense est ouvert.
Pourquoi Q est-il dense dans R ?
Théorème (Q est dense dans R). Pour tout x, y ∈ R tel que x