Pour un nombre premier p, le groupe (Z/pZ)× est toujours cyclique, constitué des éléments non nuls du corps fini d’ordre p. Plus généralement, chaque sous-groupe fini du groupe multiplicatif de tout corps est cyclique.
Chaque sous-groupe d’un groupe cyclique est-il cyclique ?
Théorème : Tous les sous-groupes d’un groupe cyclique sont cycliques. Si G=⟨a⟩ est cyclique, alors pour tout diviseur d de |G| il existe exactement un sous-groupe d’ordre d qui peut être engendré par a|G|/d a | G | / ré . Preuve : Soit |G|=dn | G | = ré n .
Pourquoi le groupe multiplicatif d’un corps fini est-il cyclique ?
Théorème 3.11. Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps est cyclique. Preuve. Tout groupe abélien fini contient un élément d’ordre égal à son exposant, donc G contient un élément d’ordre m = n = #G et est donc cyclique.
Tous les groupes ont-ils des sous-groupes cycliques ?
Il est donné que chaque élément d’un groupe engendre un sous-groupe cyclique.
Comment savoir si un groupe est cyclique ?
Un groupe fini est cyclique si, et seulement si, il a précisément un sous-groupe de chaque diviseur de son ordre. Donc, si vous trouvez deux sous-groupes du même ordre, alors le groupe n’est pas cyclique, et cela peut parfois aider.
Tous les groupes cycliques ont-ils un ordre premier ?
L’affirmation que vous prétendez avoir contredite, c’est-à-dire que chaque élément d’un groupe cyclique G est d’ordre 1 ou |G|, est fausse.
Un groupe est-il cyclique ?
Tout groupe cyclique est virtuellement cyclique, comme l’est tout groupe fini. Un groupe infini est virtuellement cyclique si et seulement s’il est de type fini et a exactement deux extrémités ; un exemple d’un tel groupe est le produit direct de Z/nZ et Z, dans lequel le facteur Z a un indice fini n.
Tous les groupes cycliques sont-ils abéliens ?
Tous les groupes cycliques sont abéliens, mais un groupe abé